Десятиугольник, как и все многоугольники, можно легко построить с помощью циркуля и линейки. Существует два несложных способа для решения данной интересной и необычной задачи.

Вам понадобится

• - циркуль;
• - линейка.

Инструкция

Многоугольником называется замкнутая ломаная. Десятиугольник, соответственно, - это замкнутая ломаная, состоящая из 10 углов и 10 отрезков. Построить произвольный десятиугольник несложно. Для этого надо взять 10 любых точек, не лежащих на одной прямой, и соединить эти точки отрезками так, чтобы получилась замкнутая фигура. Причем должно выполняться условие: две любые точки внутри получившейся фигуры должны соединяться линией, не пересекающей границы фигуры. Если данное условие не выполняется, то построенная фигура не является многоугольником.

1 способ: С помощью циркуля начертите окружность. Используя транспортир, разделите ее на 10 равных секторов по 36 градусов каждый (360:10 = 36). Затем соедините последовательно все точки, отмеченные на окружности.

2 способ: Опять же, с помощью циркуля начертите окружность. Центр получившейся окружности обозначьте буквой О. Проведите два перпендикулярных диаметра данной окружности СD и АВ. Разделите один из 4-х радиусов на две равные части. Из рисунка видно, что радиус СО = СМ+МО, где СМ=МО.

Дальше поставьте ножку циркуля в точку М и начертите окружность радиусом, равным половине радиуса первоначальной окружности. С помощью линейки соедините центр маленькой окружности М с любой из 2-х точек (А или В) на перпендикулярном диаметре. На рисунке центр маленькой окружности соединен сточкой А. Длина, получившегося отрезка АМ будет равна длине стороны десятиугольника. Осталось только сделать раствор циркуля, равный длине отрезка АМ, поставить ножку циркуля в точку А и отметить следующую точку на окружности. Далее переместите ножку циркуля в новую точку и отметьте следующую. И так до тех пор, пока на окружности не появится 10 равноудаленных друг от друга точек.

Построение вписанного в окружность правильного шестиуголь­ника. Построение шестиугольника основано на том, что сторона его равна радиусу описанной окружности. Поэтому для построения доста­точно разделить окружность на шесть равных частей и соединить най­денные точки между собой (фиг. 60, а).

Правильный шестиугольник можно построить, пользуясь рейсшиной и угольником 30X60°. Для выполнения этого построения принимаем горизонтальный диаметр окружности за биссектрису углов 1 и 4 (фиг. 60, б), строим стороны 1 -6, 4-3, 4-5 и 7-2, после чего прово­дим стороны 5-6 и 3-2.

Построение вписанного в окружность равностороннего треуголь­ника . Вершины такого треугольника можно построить с помощью циркуля и угольника с углами в 30 и 60° или только одного цир­куля.

Рассмотрим два способа построения вписанного в окружность рав­ностороннего треугольника.

Первый способ (фиг. 61,a) основан на том, что все три угла треугольника 7, 2, 3 содержат по 60°, а вертикальная прямая, прове­дённая через точку 7, является одновременно высотой и биссектрисой угла 1. Так как угол 0-1-2 равен 30°, то для нахождения стороны

1-2 достаточно построить по точке 1 и стороне 0-1 угол в 30°. Для этого устанавливаем рейсшину и угольник так, как это показано на фигуре, проводим линию 1-2, которая будет одной из сторон искомого треугольника. Чтобы построить сторону 2-3, устанавливаем рейсшину в положение, показанное штриховыми линиями, и через точку 2 прово­дим прямую, которая определит третью вершину треугольника.

Второй способ основан на том, что,если построить правильный шестиугольник, вписанный в окружность, и затем соединить его вер­шины через одну, то получится равносторонний треугольник.

Для построения треугольника (фиг. 61, б) намечаем на диаметре вершину-точку 1 и проводим диаметральную линию 1-4. Далее из точки 4 радиусом, равным D/2, описываем дугу до пересечения с окруж­ностью в точках 3 и 2. Полученные точки будут двумя другими вер­шинами искомого треугольника.

Построение квадрата, вписанного в окружность . Это построение можно выполнить при помощи угольника и циркуля.

Первый способ основан на том, что диагонали квадрата пере­секаются в центре описанного круга и наклонены к его осям под углом 45°. Исходя из этого, устанавливаем рейсшину и угольник с углами 45° так, как это показано на фиг. 62, а, и отмечаем точки 1 и 3. Далее через эти точки проводим при помощи рейсшины горизонтальные сто­роны квадрата 4-1 и 3-2. Затем с помощью рейсшины по катету угольника проводим вертикальные стороны квадрата 1-2 и 4-3.

Второй способ основан на том, что вершины квадрата делят пополам дуги окружности, заключённые между концами диаметра (фиг. 62, б). Намечаем на концах двух взаимно перпендикулярных диа­метров точки А, В и С и из них радиусом у описываем дуги до вза­имного их пересечения.

Далее через точки пересечения дуг проводим вспомогательные пря­мые, отмеченные на фигуре сплошными линиями. Точки их пересече­ния с окружностью определят вершины 1 и 3; 4 и 2. Полученные таким образом вершины искомого квадрата соединяем последовательно между собою.

Построение вписанного в окружность правильного пятиугольника.

Чтобы вписать в окружность правильный пятиугольник (фиг. 63), про­изводим следующие построения.

Намечаем на окружности точку 1 и принимаем её за одну из вер­шин пятиугольника. Делим отрезок АО пополам. Для этого радиусом АО из точки А описываем дугу до пересечения с окружностью в точ­ках M и В. Соединив эти точки прямой, получим точку К, которую соединяем затем с точкой 1. Радиусом, равным отрезку A7, описываем из точки К дугу до пересечения с диаметральной линией АО в точке H. Соединив точку 1 с точкой H, получим сторону пятиугольника. Затем раствором циркуля, равным отрезку 1H, описав дугу из вершины 1 до пересечения с окружностью, найдём вершины 2 и 5. Сделав тем же раствором циркуля засечки из вершин 2 и 5, получим остальные вер­шины 3 и 4. Найденные точки последовательно соединяем между собой.

Построение правильного пятиугольника по данной его стороне.

Для построения правильного пятиугольника по данной его стороне (фиг. 64) делим отрезок AB на шесть равных частей. Из точек А и В радиусом AB описываем дуги, пересечение которых даст точку К. Через эту точку и деление 3 на прямой AB проводим вертикальную прямую.

Получим точку 1-вершину пятиугольника. Затем радиусом, равным АВ, из точки 1 описываем дугу до пересечения с дугами, ранее проведён­ными из точек А и В. Точки пересечения дуг определяют вершины пятиугольника 2 и 5. Найденные вершины соединяем последовательно между собой.

Построение вписанного в окружность правильного семиугольника.

Пусть дана окружность диаметра D; нужно вписать в неё правильный семиугольник (фиг. 65). Делим вертикальный диаметр окружности на семь равных частей. Из точки 7 радиу­сом, равным диаметру окружности D, описываем дугу до пересечения с про­должением горизонтального диаметра в точке F. Точку F назовём полюсом многоугольника. Приняв точку VII за одну из вершин семиугольника, прово­дим из полюса F через чётные деления вертикального диаметра лучи, пересече­ние которых с окружностью определят вершины VI, V и IV семиугольника. Для получения вершин / - // - /// из точек IV, V и VI проводим до пересечения с окружностью горизонтальные прямые. Найденные вершины соединяем после­довательно между собой. Семиугольник может быть построен путём проведе­ния лучей из полюса F и через нечётные деления вертикального диаметра.

Приведённый способ годен для построения правильных многоуголь­ников с любым числом сторон.

Деление окружности на любое число равных частей можно произ­водить также, пользуясь данными табл. 2, в которой приведены коэф­фициенты, дающие возможность определять размеры сторон правильных вписанных многоугольников.

С десятью углами и десятью сторонами.

Правильный десятиугольник

У правильного десятиугольника все стороны равной длины, и каждый внутренний угол составляет 144°.

Площадь правильного десятиугольника равна (t - длина стороны):

$A\; =\; \backslash frac\{5\}\{2\}t^2\; \backslash cot\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{10\}\; =\; \backslash frac\{5t^2\}\{2\}\; \backslash sqrt\{5+2\backslash sqrt\{5\}\}\; \backslash approx\; 7.694\; t^2.$

Альтернативная формула $A=2.5dt$, где d - расстояние между параллельными сторонами или диаметр вписанной окружности. В тригонометрических функциях он выражается так:

$d=2t\backslash left(\backslash cos\backslash tfrac\{3\backslash pi\}\{10\}+\backslash cos\backslash tfrac\{\backslash pi\}\{10\}\backslash right),$

и может быть представлен в радикалах как

$d=t\backslash sqrt\{5+2\backslash sqrt\{5\}\}.$

Сторона правильного десятиугольника, вписанного в единичную окружность , равна $\backslash tfrac\{\backslash sqrt\{5\}-1\}\{2\}=\backslash tfrac\{1\}\{\backslash varphi\}$, где $\backslash varphi$ - золотое сечение .

Радиус описанной окружности декагона равен

$R=\backslash frac\{\backslash sqrt\{5\}+1\}\{2\}t,$

а радиус вписанной окружности

$r=\backslash frac\{\backslash sqrt\{5+2\backslash sqrt\{5\}\}\}\{2\}t.$

Построение

Иначе его можно построить следующим образом:

1. Построить сначала правильный пятиугольник .
2. Соединить все его вершины с центром описанной окружности прямыми до пересечения с этой же окружностью на противоположной стороне. В этих точках пересечения и находятся остальные пять вершин десятиугольника.
3. Соединить по порядку вершины пятиугольника и пять точек, найденные шагом ранее. Искомый десятиугольник построен.

Разбиение правильного десятиугольника

Напишите отзыв о статье "Десятиугольник"

Ссылки

Отрывок, характеризующий Десятиугольник